Максимов Алексей Петрович родился  17 марта  1923 года в селе Красная  Горка Билярского района Татарской АССР, в крестьянской семье.

В сентябре 1942 года  Алексей Петрович был призван в РККА и до декабря 1942 года проходил обучение в военном лагере в Чебаркуле. В декабре 1942 года он был отправлен стрелком  на Донской фронт, где участвовал в боях,  в  декабре 1942 года был ранен  и до февраля 1943 года находился в госпитале. С февраля до августа 1943 года Алексей Петрович был курсантом 1813-го стрелкового полка в г. Ефремове. После учебы его направили командиром отделения в 348-ю стрелковую дивизию на Брянский фронт. В январе 1944 года он был ранен. После лечения в госпитале, в феврале 1944 года Алексея Петровича направили помощником командира взвода 507-го гаубичного артиллерийского дивизиона. В его составе он участвовал в штурме Кёнигсберга,  и был награжден медалью «За взятие Кёнигсберга». Он также принимал участие в боевых действиях    2-го Белорусского, 3-го Белорусского фронтов. Алексей Петрович, имея  два легких ранения, был демобилизован в марте 1947 года. Он был награжден медалью «За победу в Великой Отечественной войне 1941-1945 годов», имел звание - старший сержант.

С августа 1952 года по июль 1954 года Алексей Петрович являлся учащимся Свердловской юридической школы.  В 1954 году он окончил полный курс данной школы по юридической специальности. После школы он четыре месяца работал стажером 2-го судебного участка гор. Краснотурьинска. 12.12.1954 Максимов А.П. был избран народным судьей 3-го судебного участка г. Краснотурьинска Свердловской области, который включал в себя территории города Волчанск, поселков Кытлым, Каквинские Печи и поселка Сосновка.  

По заключению председателя Свердловского областного суда Шведовой на народного судью 3-го судебного участка гор. Краснотурьинска тов. Максимова А.П.: «Учитывая, что  тов. Максимов может обеспечить работу народного судьи, пользуется авторитетом среди населения, работает над  повышением своего юридического образования, он вновь может быть рекомендован на должность народного судьи в том же городе». 15.12.1957 Максимов А.П. вновь был избран народным судьей 3-го участка г. Краснотурьинска Свердловской области.

В декабре 1960 года, в связи с упразднением участковой судебной системы, произошло  объединение всех судебных участков и образован Карпинский городской народный суд. 18 декабря 1960 года были проведены первые выборы районных (городских) народных судов. Решением исполнительного комитета Карпинского городского Совета депутатов трудящихся за № 321 от 19 декабря 1960 года были утверждены протоколы участковых избирательных комиссий по выборам народных судей. По большинству голосов народным судьей Карпинского городского народного суда был избран Максимов Алексей Петрович, который в 1961 году, без отрыва от работы, закончил заочное отделение Свердловского юридического института имени А.Я. Вышинского по специальности правоведение, и ему была присвоена квалификация юриста. Приказом № 85 по Свердловскому областному суду от 27.12.1965 Максимову Алексею Петровичу была объявлена благодарность за долголетнюю и добросовестную работу народным судьей.